Rédei László: Theorie der endlich erzeugbaren kommutativen Halbgruppen (Budapest, 1963)
THEORIE DER ENDLICH ERZEUGBAREN KOMMUTATIVEN HALBGRUPPEN von LADISLAUS RÉDEI Nicht nur in der Algebra, sondern in allen Zweigen der Mathematik hat die Theorie der Halbgruppen eine große Bedeutung. Ihre Untersuchung erfuhr jedoch erst in den letzten drei Jahrzehnten einen lebhaften Aufschwung, und in den jüngsten Jahren erschienen die ersten zwei diesbezüglichen Monographien. Es fehlte aber bisher noch der Ausbau einer Theorie der endlich erzeugbaren kommutativen Halbgruppen, die eine verhältnismäßig einfache und deshalb sehr wichtige Klasse von Halbgruppen bilden. Diesem Mangel abzuhelfen, ist das Ziel der vorliegenden Monographie. Die darin ausgebaute Theorie ist von vollständiger grundsätzlicher Einfachheit. Sie beruht auf einem einzigen Fundamentalsatz, der grob gesprochen aussagt, daß die endlich erzeugbaren kommutativen Halbgruppen sich durch sogenannte (axiomatisch definierte) Kernfunktionen beschreiben lassen, so daß es sich dann im Grunde um die Theorie der Kernfunktionen handelt. Die Anwendbarkeit der Theorie wird unter anderem durch mehrere ,,Endlichkeitssätze” gesichert. Ein Teil dieser Sätze enthält leicht erfaßbare, der andere Teil tiefliegende Feststellungen. Die wichtigsten zwei unter ihnen sprechen aus, daß jede endlich erzeugbare kommutative Halbgruppe auch endlich (d. h. durch endlich viele Gleichungen) definierbar ist und jede Kernfunktion einen endlichen Wertevorrat hat. Die Betrachtungen sind rein algebraisch, sind jedoch auf natürliche Weise in ein geometrisches Gewand gekleidet, wodurch die Ausführungen beträchtlich erleichtert werden und die Theorie als ein Kapitel der (mehrdimensionalen) Gitterpunktsgeometrie erscheint. Der Verfasser arbeitet zahlreiche Beispiele ausführlich aus, die den Leser zum Weiterforschen anregen und befähigen. Für Algebraiker, Mathematiker, Dozenten und Studenten an Universitäten wird das Studium dieser Theorie von hohem Interesse sein.