Lukács Ernőné - Tarján Rezsőné (szerk.): Matematikai kisenciklopédia (Budapest, 1968)
Ruzsa Imre: Halmazelmélet
A halmaz fogalma | 449 Halmazok azonossága. Ha két halmaz azonos (egyenlő), akkor — az azonosság fogalma szerint — mindkettőnek ugyanazok az elemei. És ha két halmazról azt tudjuk, hogy elemeik azonosak, akkor axiómánk szerint a szóban forgó két halmaz azonos, hiszen egy halmazt egyértelműen meghatároznak az elemei. Ezért: Két halmaz akkor és csak akkor azonos, ha elemeik ugyanazok. Az ún. mértani helyekre vonatkozó állításokban mindig két különböző definícióval megadott halmaz azonosítása szerepel. Példa. A síkban a szakaszfelező merőleges a szakasz két végpontjától egyenlő távolságra levő pontok mértani helye. Ez pontosan a következőt jelenti: A síkban a szakaszfelező merőleges pontjainak halmaza azonos a szakasz két végpontjától egyenlő távolságra levő pontok halmazával. Egy halmaz megadására gyakran használjuk a következő jelölési módot: kapcsos zárójelek ({•••}) közé írjuk, hogy mik a halmaz elemei. Ez a „beírás” lehet a halmaz elemeinek konkrét felsorolása (nevük vagy jelük leírása), vagy egy olyan definíció megadása, amely egyértelműen megadja a halmaz elemeit. Definícióval való megadásra példa: {a „HALMAZELMÉLET” szó magánhangzói} vagy {az „ALBÉRLET” szó magánhangzói}. Mindkét halmazt megadhatjuk elemei fölsorolásával is: {A, A, E,É,E), {A, É, E). Megfigyelhetjük, hogy e két halmaznak ugyanazok az elemei, bár a bal oldaliban az „A” és az „E” elemet kétszer is fölsoroltuk. De egyik „A” magánhangzó azonos a másik „A” magánhangzóval (ugyanez „JT’-re is igaz); a többszöri említés a halmazelméletben sem hoz létre egy dologból többet. A példa tanulsága: Egy halmazban egy dolog legföljebb egyszer szerepelhet elemként (akkor is, ha többször említjük). Az azonos (egyenlő) halmazokat az egyenlőség jelével („=”) kapcsolhatjuk össze. így: {A, A, E, É, E) = {A, É, E}. Ha azonos dolgok egyike eleme egy halmaznak, akkor másika is eleme. (Tömören: ha a = b, és a £ H, akkor egyben b 6 H is igaz.) Ez az azonosság fogalmából fakad. Pl. ha a Levegőt című vers írója eleme kedvenc költőim halmazának, akkor József Attila is eleme kedvenc költőim halmazának, hiszen A Levegőt című vers költője = József Attila. Semmiféle megszorítás nincs arra nézve, hogy egy halmaznak milyen „sok” (vagy milyen „kevés”) eleme lehet. így egy halmaznak lehet akármilyen sok, akár végtelen sok eleme is. Egy halmazt végesnek mondunk, ha véges sok eleme van, azaz, ha elemei számát egy természetes számmal meg lehet adni. 29 Matematikai kisenciklopédia